:open hands: 大模型推理考试 【普通卷级】开考！

作者：#张林 板块：#开发调优 普通推理 Benchmark · 题目卷 版本：2026-09 · Volume 1 题目数：22 用途：人类 / 大语言模型多步推理测试 标记为 Fresh Variant 的题目基于 2025–2026 新近公开题型重新参数化或重新构造，并非原题逐字转载。 使用建议 建议模型关闭联网搜索后作答。 每题要求给出最终答案；如题目明确要求证明，则必须给出推理。 不建议只按“最终答案完全一致”评分，应同时评估： 约束理解； 中间推理一致性； 是否偷偷增加题目中没有的假设； 是否真正证明最优，而不是只给出一个可行解。 A 级：困难 Q01 · 五人真假岛 A、B、C、D、E 每个人不是 Knight（永远说真话），就是 Knave（永远说假话）。 他们分别说： A：“B 和 C 是同一种人。” B：“A 和 D 是不同种人。” C：“B 和 E 中恰好有一个 Knight。” D：“C 是 Knave。” E：“A、B、D 中恰好有两个 Knight。” 确定 A、B、C、D、E 分别是什么身份。 答案格式： A=?, B=?, C=?, D=?, E=? Q02 · 新版生日推理 某人的生日只可能是以下日期之一： 月份 可能日期 March 14, 17, 18 April 13, 17 May 12, 16, 18 June 12, 14 Alice 只知道月份，Bob 只知道日期。 两人进行公开对话： Alice：“我不知道生日，但我知道 Bob 也不知道。” Bob：“一开始我不知道，但现在我知道了。” Alice：“那现在我也知道了。” 生日是哪一天？ Q03 · 四位密码 密码由 0–7 中 四个互不相同的数字组成。 每条线索格式为： (位置正确且数字正确的数量, 数字正确但位置错误的数量) 已知： 0123 → (1, 3) 1357 → (2, 0) 0246 → (0, 2) 1720 → (3, 0) 求密码。 Q04 · 非均匀主持人的三门问题 有 A、B、C 三扇门，奖品等概率随机放在其中一扇门后。 你先选择 A。 主持人知道奖品位置，并且绝不会打开 A，也绝不会打开有奖品的门。 主持人的额外规则： 若奖品在 A：主持人以 3/4 概率打开 B，以 1/4 概率打开 C； 若奖品在 B：主持人只能打开 C； 若奖品在 C：主持人只能打开 B。 现在主持人打开了 B。 问： 奖品仍在 A 的后验概率是多少？ 奖品在 C 的后验概率是多少？ 是否应该换到 C？ Q05 · 五人过桥 五个人过桥所需时间分别为： 1, 3, 6, 8, 12 分钟。 规则： 最多两人同时过桥； 必须携带唯一的一只手电筒； 两人同行耗时取较慢者； 手电筒必须有人带回来，直到所有人都到达对岸。 求所有人过桥的 最短总时间，并给出一种最优方案。 Q06 · 六个机器人 六个机器人 A–F 中，每个机器人要么永远说真话，要么永远说假话。 他们说： A：“我们六个中恰好有 2 个说假话。” B：“C 和 D 类型相同。” C：“A 说假话。” D：“B 和 F 类型不同。” E：“D 说真话。” F：“A 和 E 中恰好有一个说真话。” 确定六个机器人的类型。 S 级：非常困难 Q07 · 改造版 Sum–Product 有两个整数： 2 ≤ x < y ≤ 15 S 知道 x+y，P 知道 xy。 公开对话如下： P：“我不知道 x 和 y。” S：“我也不知道。” P：“现在我知道了。” S：“现在我也知道了。” 求 (x, y)。 要求给出知识状态逐轮收缩的理由。 Q08 · 20 囚犯与盒子 有 20 名囚犯和 20 个盒子。 盒子里随机放置编号 1–20，形成均匀随机排列。每名囚犯最多打开 10 个盒子，必须找到自己的编号。所有囚犯事前可以商量策略，但游戏开始后不能通信。 问： 给出远优于独立随机开盒的策略； 所有人成功的精确概率是多少？ 给出小数近似。 Q09 · 初始状态未知的灯泡 有 12 名囚犯和一个带灯泡的房间。 每天随机选择一名囚犯进入房间； 每个人最终都会被选中无穷多次； 灯泡最初可能亮，也可能灭，囚犯不知道初始状态； 进入房间的人可以观察并改变灯泡状态； 任何时候，一名囚犯可以宣布：“所有人都至少进过房间一次。” 如果宣布错误，全体失败。 设计一个保证最终能正确宣布的策略。 Q10 · 四个泥孩子 有若干孩子，每个人都能看到其他人的额头，却看不到自己的额头。 事实上恰好有 4 个孩子额头上有泥。 老师公开宣布： “至少有一个孩子额头上有泥。” 之后每一轮同时询问所有孩子： “你知道自己额头上有没有泥吗？” 所有人都完全理性，而且所有人都知道所有人完全理性。 问：在第几轮，四个有泥的孩子会第一次同时确定自己有泥？ 要求解释为什么前面的轮次不能确定。 Q11 · 一次重投的均衡 两名玩家进行完全对称的游戏。 每人： 先独立从 [0,1] 均匀随机抽取一个实数； 看见自己的数，但看不到对手的数； 可以选择保留，或者丢弃并重新独立抽一次； 第二次抽到的数必须保留； 最终数较大者获胜。 假设两人都使用同一种阈值策略： 第一次抽到的数 < t 就重抽，否则保留。 求对称 Nash equilibrium 的阈值 t 的精确值。 Q12 · 环形灯阵 10 盏灯排成一个圆环，编号 1–10。 按下第 i 个按钮，会同时翻转： 第 i 盏灯； 它左边相邻的一盏； 它右边相邻的一盏。 初始时只有灯： 1, 4, 7 是亮的，其余都灭。 目标是让 10 盏灯全部亮起。 问最少需要按多少次按钮？给出一种最优按法，并证明不能更少。 S+ 级：专家级 Q13 · 七顶帽子与 Hamming Code 7 名玩家，每人戴一顶黑帽或白帽。帽色独立均匀随机。 每个人： 能看到其他 6 人； 看不到自己； 同时选择“黑”“白”或“Pass”。 团队获胜条件： 至少有一人猜对； 没有任何人猜错。 问： 设计一个成功率为 7/8 的策略； 解释为什么它与二进制 Hamming code 有关； 说明为什么 7/8 已经是最优成功率。 Q14 · 12 枚硬币，三次非自适应称量 有 12 枚外观完全相同的硬币，其中恰好一枚是假币。 假币可能： 比正常硬币重； 或比正常硬币轻。 你有一架无砝码天平。 要求： 只允许三次称量； 三次称量方案必须一开始就全部确定，不能根据前一次结果改变后续称法； 最终必须确定是哪一枚假币，以及它是重还是轻。 设计完整方案，并说明如何由三次结果解码。 Q15 · 仿射密码 字母按： A=0, B=1, ..., Z=25 编码。 某密码满足： C ≡ aP + b (mod 26) 并且 gcd(a,26)=1。 已知： 明文 A 加密后是 H； 密文 KZLVR 的明文恰好是下面四个单词之一： LOGIC TRUTH PROOF RATIO 求： a 和 b； KZLVR 对应哪个单词； 解密 OBHTZU。 Q16 · Bottleneck Matching【Fresh Variant】 有 6 名英雄 H1–H6 和 6 名反派 V1–V6。每个英雄必须匹配唯一一个反派。 评分矩阵如下： V1 V2 V3 V4 V5 V6 H1 7 2 7 7 8 9 H2 5 9 1 2 9 5 H3 6 2 5 7 3 8 H4 1 5 9 3 9 2 H5 5 9 4 3 6 3 H6 9 9 1 6 8 1 目标不是最大化总分，而是： 最大化六个配对中 最低的那个分数。 求： 最优最低分； 一组达到最优的匹配； 使用 Hall 定理或等价论证证明不可能更高。 Q17 · 第 20 个递增数字数【Fresh Variant】 寻找满足以下条件的正整数： 十进制各位数字从左到右 严格递增； 所有数字之和为 24。 将所有满足条件的正整数从小到大排列。 问：第 20 个是多少？ Q18 · 置换矩阵的最大阶（小规模版）【Fresh Variant】 一个 20×20 的 0/1 矩阵，每一行和每一列恰好一个 1。 因此它是某个 20 元排列的置换矩阵。 定义矩阵的阶为最小正整数 m，使得： A^m = I 问：这样的矩阵可能具有的 最大阶是多少？ 给出一种达到该阶的循环分解。 SS 级：极难 / Benchmark Killer Q19 · 三神问题 有三位神 A、B、C，身份分别是： True：永远说真话； False：永远说假话； Random：每次回答行为随机，不能依赖其回答内容进行可靠推理。 三者身份互不相同。 你只能问 3 个 Yes/No 问题，每个问题只能问其中一位神。 更麻烦的是： 神只会回答 ja 或 da； 你不知道哪一个词表示 Yes，哪一个表示 No。 要求给出一个保证在 3 个问题内识别三位神身份的策略。 Q20 · 旋转按钮轮【Fresh Variant】 一个圆形轮盘上有 4 个等距按钮，按钮状态为 ON/OFF。 初始状态任意，但不允许一开始全部 ON； 每