丘成桐新论文致谢了GPT和Claude

而且解决的问题，还是44年前他亲自列入自己的问题清单的。 丘成桐参与的最新论文，在致谢里感谢了GPT 6 Astra和Claude Pro，说它们帮忙探索了部分证明思路和计算。 这篇论文处理的是微分几何里的一个经典猜想。 问题关注的是七维空间，当中的球面有28种不同的「版本」，其中27种和我们熟悉的球面微妙地不同，数学上叫「怪球」。 数学家一直想知道， 这些怪球能不能像普通球面一样，每个地方都均匀地向内弯 。 怪球1956年就被发现了，但这个弯曲的问题悬了70年。丘成桐1982年把它列进自己的问题清单，排第二位。 现在，这篇AI辅助的论文终于给出了答案。 七维空间的27种「怪球」 1956年，美国数学家米尔诺（John Milnor）构造出了一种奇怪的东西。 它和标准的七维球面在拓扑上完全一样，你可以把它想象成一团橡皮泥，随便揉捏、拉伸，都能变成普通的球面。 但是如果你禁止揉捏，只允许光滑地变形，也就是每一个点的移动方式都平缓过渡、不许有突变，它就变不回去了。 这种球面和标准球面「形状一样，手感不同」，数学上叫做「怪球」（exotic sphere）。 米尔诺凭借这个发现拿了菲尔兹奖。 七年之后，科维尔（Kervaire）和米尔诺证明，七维空间里这种「光滑版本」一共有28种。 标准球面算其中一种，其余27种都是怪球，这28种构成一个代数结构，数学上记作Θ₇ ≅ Z/28Z。 标准球面有一个很好的性质，它的「截面曲率」（sectional curvature）处处为正。 通俗地说，就是这个球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内弯曲的，没有任何一个地方是平的或者向外翻的。 数学家自然想知道，另外那27个怪球，能不能也做到这一点。 最先取得突破的是格罗莫尔（Gromoll）和迈耶（Meyer）。1974年，他们在一个怪球上构造出了「非负曲率」的度量。 也就是说，这个怪球的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。 2020年，格特（Goette）、凯林（Kerin）和尚卡尔（Shankar）把这个结果推广到了全部28种球面，证明每一种都能配上非负曲率的度量。 但从「非负」到「正」，也就是从「允许有些地方不弯」到「每个地方都必须弯」，中间还差最后一步。 这一步看似微小，实际上卡了数学界半个多世纪。 2008年，彼得森（Petersen）和威尔海姆（Wilhelm）曾经发布预印本声称在一个怪球上做到了正曲率，但他们的证明始终没有通过同行评审。 丘成桐参与的这篇论文宣称补上了从「非负」到「正」的这一步，它证明28种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。 如果这个结果最终被数学界接受，那么这个悬了许久的问题，将被彻底解决。 两块圆盘，一道接缝 为什么从「非负」跨到「正」这么难？其中一个原因很微妙。 布伦德尔（Brendle）和舍恩（Schoen）的微分球定理证明过，如果一个流形上的正曲率太均匀，也就是在任意一点、任意方向上，最大曲率和最小曲率之比都不超过4，那这个流形一定和标准球面「光滑等价」。 换句话说，怪球上的正曲率必须正，但不能正得太均匀，否则它就不再是怪球了，因此留给构造的空间极为狭窄。 论文的核心思路，是把每一个怪球切成两半。 在这个模型里，每一种七维球面都可以看成两个七维圆盘沿着各自的边界粘合而成，28种球面对应28种不同的粘合方式。 △AI生成 于是，问题就变成了：能不能在每块圆盘上分别造出一个处处向内弯的度量，而且两块圆盘在接缝处严丝合缝。 具体来说，在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，所有这些小球加在一起，就构成了一个十维的空间。 在这个十维空间上造度量，技术上更容易控制。 然后，他们通过一种叫做「黎曼淹没」（Riemannian submersion）的操作，把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。 这里有一个关键的数学工具叫做「奥尼尔公式」（O’Neill formula）。 这个公式保证了一件事：从十维投影到七维之后，曲率只会变大或不变，不会变小。 而在十维空间里做到正曲率的核心技巧，是把那些三维小球的「半径」取到极小。 纤维越细，它自身的弯曲程度就越大，这份巨大的曲率足以压住其他方向上可能出现的负曲率贡献。 但是，两块圆盘的构造方法并不对称。 「南盘」用的是一个弯曲的底盘加上精心选取的联络（connection），「北盘」用的则是扁平的乘积联络配合翘曲的径向轮廓。 两种方法各有各的技术难点，但它们在边界处必须完美对接，具体需要满足两个条件。 一是边界上诱导出的度量要完全一致，二是两侧的「第二基本形式」（second fundamental form），也就是边界处的弯曲程度，加起来之后在每个方向上都严格为正。 △AI生成 为了证明这两个条件，论文先在两块圆盘的公共边界上建立同一套坐标，然后证明在这套坐标下，两侧的纤维半径关于法向的导数刚好相反。 所以，纤维部分对第二基本形式的贡献在拼接时正好抵消，而角向部分的贡献加起来是严格为正的。 满足这两个条件之后，赖泽（Reiser）和雷斯（Wraith）的拼接定理就能保证，粘合后的整个球面上存在一个光滑的正曲率度量。 于是，论文得到了其核心结论，28种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。 论文还附带了一套用SageMath编写的验证代码。 整个构造涉及大量曲率不等式的精确估计和参数选取，仅靠人工逐一核查几乎不可能完成，计算机验证在这里是证明可信度的重要支撑。 丘成桐与AI这三年 丘成桐对AI的态度，这几年经历了一条清晰的变化轨迹。 2023年4月，在复旦大学出席浦江科学大师讲坛前夕，他曾表示，「AI不可能对最尖端的数学家有任何影响，它还只能把现有的资料融会贯通，很难形成科学观念上的突破」。 2024年4月，他在中关村论坛上的说法稍微软化了一些，他对AI的看法从「不会有任何影响」，变成了「对数学有很多好处，可以帮助数学的发展」，不过他坚持认为AI不可能改变数学。 到了今年，他的口风已经明显不同。 1月份在世界华人数学家大会上，他说AI改变的是科研效率，但还谈不上范式革命； 6月份，他又说AI能解很多「nice, cute questions」，但离改变整个数学的突破还很远； 7月份在国际弦理论大会上，他已经主张学生应该尽早学习使用AI工具，认为查资料、找文献、归纳总结这些事情，AI都能帮上忙。 总之，AI在数学界的存在感已经强到让顶尖数学家集体表态。 陶哲轩是这一波AI浪潮里最早拥抱AI的顶尖数学家，他把AI当作「研究助理」，用它辅助代码生成、文献检索和形式化证明验证。 但他和今年的菲尔兹奖得主邓煜等25位菲尔兹奖得主联合发表了一份声明，警告AI公司把解决数学问题当作benchmark来冲刺的做法，与数学共同体的目标已经出现「严重偏移」。 在他们看来，数学研究的核心追求是概念理解与洞见，解题只是实现这个目标的工具。 丘成桐也表达过相似的观点。 就在论文发出四天之前，他表示， AI能够汇集既有知识、推动常规工作，但人往往因为已经得到想要的答案，反而不敢去问更重要的问题 。 他认为，AI无法替代人类独有的原创思考和瞬时迸发的灵感。 丘成桐和陶哲轩对AI的关切，其实是相通的，他们都在追问同一件事，就是当AI越来越能解题，数学家还愿不愿意继续去问那些AI解不了的问题。 版权所有，未经授权不得以任何形式转载及使用，违者必究。 数学 梦晨 扫码分享至朋友圈 相关阅读 文学作品中也“处处是数学”？揭秘数学家眼里的文字世界 “数学开启了完全不同的文学视角” 数学 高考数学只有1分的马云，为全球组织了一场数学竞赛 数学让性格迥异的选手们相聚 数学 达摩院 阿里巴巴 马云 两圆重叠问题你会求解吗？这个问题的准确答案，德国数学家最近才找到 数学家终于找到了这个方程的解析解 数学 51年被发现9次，陶哲轩证明的公式成了重复造轮子？事情并没有这么简单 牛顿和莱布尼茨也都发明了微积分啊。 数学 造轮子 陶哲轩 两大数学奖项同时颁给王虹！北大三校友包揽“华人菲尔兹” 最新菲尔兹奖风向标 数学 王虹 陶哲轩 对标GPT-4代码解释器！港中大让模型写代码解决数学难题，得分超越GPT-4 底层也是羊驼 开源大模型 数学 热门文章 HC归来，华为正重新定义AIDC基础设施 李飞飞创业公司被苏姿丰550亿收购！世界模型最大交易落地 工业创新进入“组队局”，拆解西门子Xcelerator开放生态的赋能链路 OpenAI推理之父最新访谈！数学只是多智能体时代的开胃菜 精准揪出RL训练数据Bug，Prompt直出小游戏，IQuest-Q1夯爆了！ 加入我们 寻求报道 商务合作 追踪人工智能新趋势，报道科技行业新突破